Makalah Fisika Kuantum-q

February 10, 2019 | Author: Uyun Fathonah | Category: N/A
Share Embed Donate


Short Description

berisi tentang persamaan fungsi gelombang, operator-operator pada persamaan fungsi gelombang dan persamaan schrodinger...

Description

BAB I PENDAHULUAN

1.1 LATAR BELAKANG

Prinsip Ketidakpastian Heisenberg menyatakan bahwa (hampir) tidak  mungkin untuk mengukur dua besaran secara bersamaan, misalnya posisi dan momentum suatu partikel. Artinya, ketika kedua hal itu dilakukan secara bersamaan kita tidak akan mendapatkan nilai dari kedua besaran tersebut, dan apabila pada saat yang bersamaan kita tidak melakukan pengukuran jelas otomatis kita juga tidak  menemukan kedua besaran tersebut.

Jika kita kaitkan dengan aktivitas, maka prinsip dari hukum itu berarti bahwa  jika dalam suatu waktu kita mengerjakan dua atau lebih pekerjaan maka kita tidak  akan mendapatkan hasil yang optimal. Misalnya seorang dosen yang mengajar mata kuliah di kelas, pada saat mengajar tersebut dosen mengerjakan laporan penelitian. Maka kedua pekerjaan itu tidak akan meraih hasil yang optimal. 







           (  )  (   )v Hubungan deBroglie E =   dapat dituliskan sebagai E = h . Jadi,  = / ћ, sehingga hubungan ketidakpastian menjadi.

    Persamaan ini dikenal sebagai hubungan ketidakpastian Heisenberg, yang adalah

pernyataan matematis dari asas ketidakpastian Heisenberg. Hubungan-

hubungan ini memberikan pengaruh yang sangat jauh pada pandangan kita terhadap alam. Dapat diterima bila dikatakan bahwa terdapat ketidakpastian dalam menentukan letak sebuah gelombang air.Namun permasalahannya menjadi lain bila

 pernyatan yang sama diterapkan pada gelombang deBroglie, karena akan tersirat  bahwa terdapat pula ketidakpastian dalam menentuka n letak partikel. Pada persamaan mengatakaan bahwa alam menetapkan suatu batas ketelitian yang dapat kita gunakan untuk melakukan sebuah percobaan, tidak perduli sebaik apapun peralatan ukur kita dirancang, kita tidak dapat melakukan pengukuran yang lebih teliti dari pada yang disyaratkan oleh persamaan tersebut.

1.2 RUMUSAN MASALAH ●

Prinsip Ketidaktentuan Heisenberg.

● Hubungan Observabel Komutator.

1.3 TUJUAN

1. Untuk menjelaskan menjelaskan bagaimana Prinsip ketidaktentuan Heisenberg. 2. Untuk Untuk menjelaskan menjelaskan bagaimana hubungan umum dari observabel komutator. 3. Untuk menjelaskan fungsi dari Operator Observabel.

1.4 MANFAAT

1. Untuk mengetahui ketidaktentuan Heisenberg. 2. Untuk mengetahui hubungan umum dari Observabel Komutator. 3. Untuk mengetahui fungsi dari Operator Observabel.

BAB II PEMBAHASAN A. Prinsip Ketidaktentuan hesenberg.

Werner Heisenberg lahir pada tanggal 5 Desember 1901 di Wurzburg. Ayahnya adalah seorang profesor dibidang kebudayaan Yunani pertengahan dan modern di Universitas Munich. Meskipun masa sekolahnya terganggu oleh Perang Dunia I, pada umur 16 tahun Heisenberg muda sudah bisa mengajari temannya yang belajar  kalkulus di universitas. Pada umur 17 tahun, Heisenberg menjadi sukarelawan yang  bekerja di daerah pertanian Bavaria. Dia kembali ke Munich setelah perang, kemudian menjadi seorang pengirim pesan untuk partai demokratik sosialis yang  berseteru dengan partai komunis sebagai penguasa Jerman saat itu. Heisenberg mengawali kuliahnya di Universitas Munich mengambil jurusan matematika. Beliau diperkenalkan oleh ayahnya – yang baru saja pensiun – kepada Ferdinand von Lindermann. Namun setelah diwawancara oleh Lindermann, Heisenberg dinyatakan gagal. Padahal subjek paling favoritnya adalah matematika. Wawancara selanjutnya dengan Sommerfeld membuka jalan baru baginya. Heisenberg diterima di jurusan fisika teori di Universitas itu. Bersama Pauli, mereka memulai kuliahnya pada tahun 1920. Beliau langsung jatuh cinta dengan subjek   barunya. Kemudian beliau berencana mengambil penelitian mengenai relativitas –  topik yang sedang hangat-hangatnya saat itu. Rencana ini ternyata sudah keduluan oleh Pauli. Temannya itu menyarankan agar Heisenberg mengambil penelitian mengenai struktur atom. Menurut Pauli, penelitian mengenai struktur atom lebih membutuhkan pengembangan oleh orang seperti Heisenberg. Hal ini didasarkan  pemikiran bahwa saat itu hasil penelitian dan pemikiran teori tentang subjek itu masih  belum sesuai.

Subjek penelitian tentang struktur atomlah yang kemudian mempertemukan Heisenberg dengan Bohr. Pada tahun 1922, Heisenberg menghadiri kuliah Bohr di Universitas Gottingen. Saat kuliah itulah Heisenberg mengemukan pendapatnya yang membuat Bohr kebakaran jenggot. Menurutnya, karena elektron itu tidak akan pernah dapat dilihat oleh manusia maka kepastian dari keadaan elektron tersebut (posisi dan momentumnya) tidak akan pernah dapat dipastikan. Menurutnya lagi, “Kita tidak bisa menentukan apa yang akan terjadi karena kita tidak tahu sepenuhnya tentang masa kini!” Inilah cikal bakal dari prinsip ketidakpastian Heisenberg. Namun, karena  pendapatnya itulah, Bohr memanggilnya. Bohr memang merasa ada kelemahan dari teorinya, salah satunya adalah tidak bisa menjelaskan dengan benar spektrum atom  poli-elektron. Kemudian Heisenberg diajak berjalan-jalan di alam Jerman sambil menikmati pemandangan dan membicarakan tentang pendapatnya. Disitulah Bohr  tahu bahwa anak muda ini bukan orang sembarangan. Bohr mengajaknya ke Copenhagen, Denmark. Saat itu Copenhagen memang menjadi salah satu pusat  penelitian fisika teori terkemuka, terlebih karena Bohr adalah orang Denmark. Di sana, Heisenberg bekerja bersama Max Born, Franck dan Hilbert mengkaji tentang model atom Bohr yang saat itu diterima sebagai model atom paling canggih. Heisenberg menyelesaikan disertasinya tentang turbulensi fluida pada tahun 1923, artinya beliau menyelesaikan studi S3-nya saat masih berumur 22 tahun!. Pada tahun 1925 Heisenberg kembali ke Gottingen. Tahun itu pula beliau menemukan matriks mekanik, versi pertama dari pengembangan mekanika kuantum. Beliau tidak menemukannya sebagai matriks aljabar, tapi memfokuskannya pada kuantisasi probabilitas amplitudo yang dibangun oleh aljabar non-komutatif. Max Born dan Pascual Jordan menkonversikannya ke bentuk matriks aljabar. Tahun 1926, Max Born menafsirkan fungsi gelombang dalam suku probabilitas. Ketika seseorang melakukan pengukuran lokasi elektron, probabilitas mendapatkannya di setiap posisi  bergantung pada fungsi gelombang di sana. Interpretasi ini mengusulkan bahwa keacakan merupakan karakteristik atau sifat fundamental alam.

Pada tahun 1927 Heisenberg kembali ke Jerman dengan predikat profesor paling muda di negara itu. Dengan memanfaatkan temuan sebelumnya (yang sudah dikonversikan oleh Max Born), akhirnya pada tahun yang sama Heisenberg mengemukakan prinsipnya. Prinsip ketidakpastian mengemukakan bahwa posisi dan momentum suatu elektron tidak bisa ditentukan dalam waktu yang bersamaan. Prinsip ini bukan merupakan akibat dari keterbatasan ketelitian instrumen manusia, akan tetapi merupakan sifat yang inheren (melekat) di dunia subatomik. Heisenberg mengajukan suatu prinsip yang menjungkirbalikkan determinisme fisika klasik! Pengukuran pertama dilakukan dengan mengukur posisi dari elektron, kemudian mengukur momentumnya. Posisi dilambangkan dengan x dan momentum dilambangkan dengan p. Jika dilakukan pengukuran beberapa kali maka setiap  pengukuran akan memberikan hasil yang berbeda baik dari segi posisi ataupun momentumnya. Dengan kata lain, ada suatu ketidakpastian dalam pengukuran. Hubungan ketidakpastian muncul antara dua kuantitas yang bisa diteliti yang dapat diartikan sebagai operator non-komutatif. Prinsip ketidakpastian dalam mekanika kuantum dijelaskan bahwa pengukuran posisi elektron akan mengganggu momentum elektron tersebut. Penggangguan dalam prinsip ketidakpastian ini dapat dilihat dari asumsi berikut: elektron disiapkan dalam keadaan mantap dan mengukur posisi lalu momentum, tapi tidak keduanya. Setelah percobaan diulangi berkali-kali, maka akan didapatkan distribusi probabilitas dari harga posisi-momentum, dan hubungan ketidakpastiannya

akan

tetap

berkesesuaian

untuk

harga

p,

x.

Hubungan

ketidakpastian Heisenberg ini merupakan pengukuran yang sifatnya teoritis, oleh karena itu disebut juga pengukuran yang berada dalam keadaan ideal. Berbeda dengan teori mekanika klasik yang menyebutkan bahwa momentum dan posisi elektron bisa ditentukan pada saat bersamaan sekalipun. Prinsip ketidakpastian menimbulkan efek yang aneh. Dengan prinsip ini, posisi dan momentum elektron tidak bisa ditentukan dengan teliti atau 100%. Jika benar-benar 

yakin, posisi elektron bisa ditentukan hanya dengan keboleh jadian sebanyak 99%  berada di tempat tertentu, dan 1% berada di tempat lain. Bahkan meskipun kemungkinannya hanya 1%, posisi elektron itu bisa saja berada di seberang alam semesta. Ketidakpastian juga tidak hanya berlaku untuk pasangan posisi - momentum tapi juga pasangan besaran lainnya, seperti energi-waktu, waktu-frekuensi, dan dua komponen ortogonal dari momentum angular. Dengan ini teori-teori yang menjelaskan subjek-subjek tadi harus dikaji ulang semuanya. Tentu saja hal ini menimbulkan pro dan kontra. Bohr termasuk orang yang pro karena  bersamanyalah Heisenberg membangun prinsipnya itu. Einstein, sang penemu relativitas, adalah salah satu yang tidak setuju dengan prinsip ketidakpastian tersebut. Kemudian prinsip ini menjadi perdebatan dikalangan ilmuwan saat itu. 

Prinsip Ketidakpastian Heisenberg dalam Beraktivitas.

Prinsip Ketidakpastian Heisenberg menyatakan bahwa (hampir) tidak  mungkin untuk mengukur dua besaran secara bersamaan, misalnya posisi dan momentum suatu partikel. Artinya, ketika kedua hal itu dilakukan secara bersamaan kita tidak akan mendapatkan nilai dari kedua besaran tersebut, dan apabila pada saat yang bersamaan kita tidak melakukan pengukuran jelas otomatis kita juga tidak  menemukan kedua besaran tersebut.

Jika kita kaitkan dengan aktivitas, maka prinsip dari hukum itu berarti bahwa jika dalam suatu waktu kita mengerjakan dua atau lebih pekerjaan maka kita tidak akan mendapatkan hasil yang optimal. Misalnya seorang dosen yang mengajar mata kuliah di kelas, pada saat mengajar tersebut dosen mengerjakan laporan penelitian. Maka kedua pekerjaan itu tidak akan meraih hasil yang optimal.

Contoh lainnya adalah seorang mahasiswa yang dalam suatu semester, dia mengambil mata kuliah yang banyak (24 SKS) pada saat yang bersamaan dia juga aktif di  berbagai organisasi kampus yang cukup padat baik ekstra kampus maupun intra kampus. Maka yang akan terjadi dengan mahasiswa tersebut adalah hasil yang diraih dalam aktivitasnya tidak mencapai titik optimum. Sehingga sering terjadi kegagalan akademik bagi sebagian aktivis kampus.

Melakukan sebuah aktivitas itu membutuhkan perencanaan yang matang, pemikiran yang jernih dan kecerdasan dalam mengatur waktu. Hal yang dapat dilakukan adalah kita tidak menumpuk beberapa pekerjaan dalam satu waktu. Lebih baik kita menolak  daripada menerima karena alasan tidak enak. Menolak di sini karena memang kita telah memiliki suatu agenda dan ketika kita menerima pekerjaan itu justru kita malah tidak optimal dan menzalimi orang yang memberikan pekerjaan. Prinsip Ketidakpastian Heisenberg merupakan salah satu konsep dasar dari Quantum

Fisika, dan merupakan dasar untuk realisasi awal ketidakpastian

mendasar dalam kemampuan suatu percobaan untuk mengukur lebih dari satu variabel kuantum pada suatu waktu. Mencoba untuk mengukur posisi suatu partikel dasar untuk tingkat akurasi tertinggi, misalnya, mengarah ke meningkatnya ketidakpastian untuk dapat mengukur momentum partikel ke tingkat yang sama akurasi yang tinggi.

Dalam sistem klasik kacau, ketidakpastian tereduksi diperlukan oleh prinsip Heisenberg diperkuat secara eksponensial ke tingkat makroskopik di kali  pendek” Di satu sisi, “pada tingkat makroskopik ketidakpastian minimum dalam kondisi

awal

yang

diperlukan

oleh

prinsip

ketidakpastian

biasanya

tidak 

menimbulkan efek signifikan pada nilai-nilai numerik dari variabel dinamis dalam interval waktu yang menarik.” Tapi dalam “interval waktu yang jauh lebih  singkat” ini belum tentu demikian. Hal ini tampaknya berasal dari kenyataan bahwa solusi dari persamaan diferensial Newton adalah eksponensial sensitif terhadap variasi kondisi awal. Barone, dkk [1] juga menunjukkan dalam perilaku kacau solusi persamaan diferensial nonlinier, beberapa sistem mungkin “deterministik” (yaitu memiliki solusi unik ditentukan oleh persamaan diferensial dan kondisi awal), tetapi masih “tak  terduga” . Menurut Barone: “. Solusi kacau persamaan diferensial nonlinier sangat sensitif terhadap nilai-nilai numerik dari kondisi awal” “mewakili Setia p set  persamaan diferensial model suatu sistem yang menggabungkan beberapa wawasan ke dalam fenomena yang sedang dipelajari dan di bagian paling setidaknya mengabaikan gangguan banyak.  Para gangguan diabaikan fisik kecil yang mungkin dimodelkan, misalnya , dengan tambahan ‘kekuatan’ dalam persamaan diferensial  benar-benar dapat mengubah perilaku sistem dalam interval waktu yang  menarik. Dalam situasi ini perilaku sistem adalah ‘tak terduga’ dalam arti bahwa tidak praktis untuk mencakup semua gangguan yang memiliki dampak yang signifikan terhadap perilaku sistem. “[Penekanan ditambahkan] Ini tidak hanya membawa prinsip ketidakpastian ke dalam bidang mekanika klasik, tetapi juga menunjukkan “tambahan ‘kekuatan’” dari yang Fisika ikat dan gaya inersia yang terkait mungkin juga memenuhi syarat.

Hubungan Ketidakpastian Heisenberg. 







Hubungan deBroglie E =          (  )  (  )v dapat dituliskan sebagai E = h . Jadi,  = / ћ, sehingga hubungan ketidakpastian menjadi.

    Persamaan ini dikenal sebagai hubungan ketidakpastian Heisenberg, yang adalah

pernyataan matematis dari asas ketidakpastian Heisenberg. Asas ini

mengatakan , bahwa tidak ada satupun percobaan yang dapat dilakukan sedemikian rupa sehingga memberikan ketidakpastian di bawah batas-batas yang diungkapkan dalam persamaan tersebut.hubungan-hubungan ini memberikan suatu taksiran ketidakpastian minimum yang dapat diperoleh dari beraneka percobaan ; pengukuran kedudukan dan momentum sebuah partikel akan memberikan sebaran nilai sebesar 

   kita mungkin saja dapat melakukan pengukuran yang ketelitiannya menyimpang jauh dari pada yang diberikan, tetapi yang lebih baik dari pada itu tidak  dapat kita capai. (atau mungkin seringkali kita jumpai bahwa hubungan-hubungan ini dapat ditulis dengan h /2 atau ћ, ketimbang h , pada ruas kanan atau juga dengan > ketimbang dengan  yang memperlihatkan kesamaan. Perbedaan ini tidak terlalu  penting, karena hanya memberikan taksiran. Ketidakpastian  sebenarnya

bergantung

pada

distribusi

bilangan

dan 

gelombangnya

yang

(panjang

gelombangnya) yang kita gunakan untuk membatasi gelombang pada daerah (selang)

 ; distribusi yang lebih rapi memberikan    

sedangkan

distribusi lainnya akan memberikan    h/2 dengan demikian, cukup aman  bagi kita untuk menggunakan ћ sebagai suatu taksiran ). Hubungan-hubungan ini memberikan pengaruh yang sangat jauh pada  pandangan kita terhadap alam. Dapat diterima bila dikatakan bahwa terdapat

ketidakpastian

dalam

menentukan

letak

sebuah

gelombang

air.Namun

 permasalahannya menjadi lain bila pernyatan yang sama diterapkan pada gelombang deBroglie, karena akan tersirat bahwa terdapat pula ketidakpastian dalam menentukan letak partikel. Pada persamaan mengatakaan bahwa alam menetapkan suatu batas ketelitian yang dapat kita gunakan untuk melakukan sebuah percobaan, tidak perduli sebaik apapun peralatan ukur kita dirancang, kita tidak dapat melakukan pengukuran yang lebih teliti dari pada yang disyaratkan oleh persamaan tersebut. Untuk  menentukan momentum secara teliti, kita harus melakukan pengukuran sepanjang  jarak   ; jija kita bermaksud membatasi sebuah partikel pada suatu bagian ruang (selang)  yang kecil, maka kita akaan kehilangan kemampuan untuk mengukur  momentumnya secara teliti. Untuk mengukur suatu energi dengan ketidaakpastian yang kecil, diperlukan selang waktu pengukuran t yang lama; jika sebuah partikel yang tercipta hadir ( hidup) dalam selang waktu yang singkat, maka ketidakpastian energi yang singkat energinya akan semakin besar. Prinsip Ketidakpastian Heisenberg menyatakan bahwa adalah (hampir)

tidak mungkin untuk mengukur dua besaran secara bersamaan, misalnya posisi dan momentum suatu partikel. Prinsip ini dicetuskan oleh ilmuwan Jerman  bernama Werner Heisenberg  pada tahun 1927.Prinsip Ketidakpastian Heisenberg.

Semua

fisika kuantum didasarkan pada prinsip tunggal yang disebut prinsip ketidakpastian Heisenberg. Prinsip ketidakpastian Heisenberg menyatakan bahwa tidak mungkin untuk  mengetahui momentum dan posisi partikel pada saat yang sama dengan presisi yang mutlak.Semakin akurat kita mengetahui posisi, semakin tidak akurat hasil  pengukuran momentum.Oleh karena itu, partikel tidak dapat dianggap memiliki  posisi tepat pada satu titik. Yang bisa ditentukan hanyalah probabilitas dalam menemukan sebuah elektron di sekitar inti atom.

Awan elektron.

Model awan muncul dari implikasi atas prinsip ketidakpastian.Ide-ide kita tentang struktur utama sebuah atom yang terdiri dari inti, dikelilingi oleh elektron yang berputar di lintasan kecil yang rapi (seperti planet-planet yang mengorbit mengelilingi matahari) tidak akan menemukan relevansinya dalam kacamata mekanika kuantum.Prinsip ketidakpastian memaksa kita untuk meninggalkan konsep lintasan atom tetap. Sebaliknya, konsep awan elektron harus diadopsi sebagai gantinya. Konsep ini menyatakan adanya semacam awan imajiner di sekitar inti atom, dimana

terdapat

probabilitas

untuk

menemukan

elektron.Untuk

menghitung

 probabilitas elektron pada berbagai tingkat energi di berbagai kulit atom, lazim digunakan persamaan Schrodinger mekanika kuantum. B. Operator Observabel

Pengukuran besaran fisis (observabel) dalam mekanika klasik dapat dilakukan dengan cara dan hasil yang pasti dan tanpa mengganggu sistem yang diukur  observabelnya, serta dapat dilakukan pengukuran besaran observabel secara serentak  (pada saat yang sama). Menurut mekanika kuantum, pengukuran suatu observabel akan mempengaruhi dan mengubah keadaan sistem: pengukuran beberapa besaran (misalnya posisi dan kecepatan atau momentum) tidak dapat dilakukan secara serentak denga hasil ukur yang pasti / eksak (ketakpastiannya terbatasi oleh prinsip ketakpastian Heisenberg). Gangguan terhadap sistem saat pengukuran sangat terasa / penting pada obyek-obyek mikroskopik (partikelpartikel elementer, atomistik), sehingga pada sistem-sistem seperti itu mutlak diberlakukan mekanika kuantum dalam pembicaraan

yang lebih tepat. Mekanika kuantum merupakan teori kebolehjadian yang bersifat abstrak, seperti konsep panjang gelombang, rapat kebolehjadian, operator, dan lain-lain. Mekanika kuantum disusun di atas postulat-postulat. Ada dua pendekatan formulasi mekanika kuantum, yakni dengan Mekanika Gelombang yang dikembangkan oleh Schrodinger, dan Mekanika Matriks yang dikembangkan oleh Heisenberg. Dalam modul ini disajikan dengan mengunakan pendekatan mekanika gelombang, yang lebih terasa logis dan menggunakan dasar-dasar metode matematika yang familiar. Untuk mengawali pembicaraan mekanika kuantum, disajkan postulat-postulat dasar  mekanika kuantum:

Postulat I: Setiap sistem fisis dinyatakan dengan fungsi gelombang atau fungsi keadaan, ψ(r ,t ) , yang secara implisit memuat informasi lengkap mengenai observabelobservabel yang dapat diketahui pada system tersebut.

Soal :

1) Selidiki linearitas operator A yang didefinisikan sebagai berikut : a) A( x) =

 

 b) A( x) =  x

( x) + a, dengan a konstanta 



 ( x)

Penyelesaian :

a) Operator A didefinisikan menurut A( x) =

 

( x) + a

Maka untuk c, c1, C2, konstanta berlaku A(( x)) =

 

( x) + a

=



=  ҂

( ( x)) + a



 

c{

 

 ( x ) + a  ( x ) + a }

Atau

A ( c  ( x) ) ҂ c (A  ( x )) Jadi operator a bukan linear karena ada satu sifat atau definisi operator linear  yang tidak dipenuhi. Maka untuk c, c1, c2, konstanta berlaku : A (( x)) = x

i)

 

( ( x))

Fungsi Gelombang

Fungsi gelombang suatu sistem, ψ(r ,t ) , merupakan fungsi kebolehjadian menemukan sistem di posisi r pada saat t , yang secara langsung memberikan rapat kebolehjadian,

dengan

tanda

sebagai:

*

menyatakan

konjugat

Kebolehjadian menemukan sistem di posisi

kompleks

fungsi

yang

disertainya.

dalam elemen volume d t pada saat t 

adalah :

Pengertian ini analog dengan massa dalam elemen volume sebagai hasil kali antara rapat massa dengan elemen volume tersebut :

Kebolehjadian dalam mekanika kuantum ini memenuhi hukum kontinuitas :

sebagaimana dalam arus muatan (arus listrik)

Vektor S  pada persamaan yang menyatakan rapat arus partikel, biasa disebut sebagai rapat arus kebolehjadian, yang menggunakan persamaan Schrodinger  (dibahas pada bab III) dapat diturunkan sebagai :

dengan i adalah bilangan imajiner, dan m adalah massa sistem. Sebagaimana disebutkan pada postulat 1 dimuka, fungsi gelombang

memuat informasi

mengenai semua observabel pada sistem. Ini berarti observable - observabel pada sistem tersebut dapat diturunkan dari fungsi gelombangnya. Sebelum membicarakan hal ini, akan dibicarakan terlebih dahulu postulat 2 yang berkenaan dengan operator  observabel.

Postulat II: Setiap observabel dinyatakan atau diwakili oleh suatu operator 

linear hermitan.

Operator 

Operator adalah suatu instruksi matematis yang bila dikenakan atau dioperasikan pada suatu fungsi maka akan mengubah fungsi tersebut menjadi fungsi lain. Untuk operator

dapat ditulis sebagai :

[Tanda aksen ‘ bukan berarti diferensial atau turunan, tapi hanya untuk  membedakan dengan fungsi asalnya].

Contoh:

Maka diperoleh :

Operator dalam mekanika kuantum sebagai representasi suatu observabel  bersifat linear, yakni memenuhi hubungan-hubungan :

dan

Fungsi hasil operasi suatu operator bisa merupakan kelipatan konstan dari fungsi asalnya, yakni :

dalam hal ini d

isebut swafungsi (eigen-function, fungsi diri), dan l disebut

swanilai (eigen-value, nilai diri) operator

.

Di sini, b adalah swanilai operator d dx yang berhubungan dengan swafungsi ( ) bx aexp . Secara umum b bisa bernilai real maupun imajiner atau kompleks. Bila suatu operator mekanika kuantum (observabel), maka l pasti real. Suatu operator  dapat mempunyai beberapa swafungsi (set eigen-function) dengan swanilainya masing-masing :

Komutator

Operasi perkalian antara dua operator sering dilakukan (seperti haln ya  perkalian antara dua observabel). Pengoperasian perkalian operator pada suatu fungsi dilakukan berturut-turut dari yang paling depan (paling dekat dengan fungsi yang dikenai). Perkalian antara dua operator mekanika kuantum yang sering muncul, karena sifat kedua operator tersebut adalah komutator. Komutator antara dua operator

didefinisikan sebagai

Dari defenisi di atas maka dapat diturunkan identitas-identitas berikut:

Apabila

maka dikatakan bahwa Aˆ dan Bˆ bersifat komut.

 Nilai observabelnya dapat diukur secara serentak dan pasti serta mempunyai

swafungsi simultan (klasik). Sedangkan apabila

dikatakan

dan

tidak komut, dan pengukuran observabelnya tidak bisa dilakukan secara serentar dan

 pasti (terikat pada prinsip ketakpastian Heisenberg,

Dikaitkan dengan sifat hermitannya, dapat dibuktikan bahwa komutator dari dua operator hermitan bersifat anti-hermitan, yakni memenuhi hu bungan :

 Notasi Dirac Untuk menuliskan suatu fungsi (vektor dalam ruang Hilbert), operasi integral dan sebagainya dapat digunakan notasi tertentu yang disebut notasi Dirac. Berikut  beberapa contoh penulisan notasi Dirac:

Postulat III: Pengukuran observabel A pada sistem dengan fungsi gelombang

yang merupakan swafungsi ternormalisir 

operator

dengan swanilai

akan menghasilkan nilai ukur yang pasti

dan tanpa mengubah

keadaan atau fungsi gelombangnya.

Apabila

bukan swafungsi operator

maka swafungsi tersebut dapat

diuraikan atas basis yang merupakan swafungsi operator

:

sehingga kebolehjadian bahwa  pengukuran observabel A memperoleh hasil ukur an Adalah

Pada pengukuran observabel q secara klasik yang dilakukan n kali diperoleh kebolehjadian memperoleh suatu harga qk adalah

dan nilai rata-rata pengukurannya adalah

Soal :

2) Akan diperlihatkan bahwa kedua operator  2 dan ̂ x = -iћ bersifat tidak 

 =   bersifat komut. komut dan juga operator   dan  Jawab :

 2 dan ̂ x = -iћ   [ 2,̂ x]  = { 2 ̂ x - ̂ x2} = -xiћ

 



= iћ Jadi didapatkan bahwa [ 2,̂ x] = iћ  0, sehingga kedua operatur tersebut dikatakan bersifat

tidak komut.

  dan   =    [    ]  = {  -  }   

 

 

 - iћ

 





 - iћ





 - iћ





 - iћ









  ] = 0, sehingga kedua operatur tersebut dikatakan Jadi didapatkan bahwa [   bersifat komut.

BAB III PENUTUP

3.1 KESIMPULAN



Prinsip Ketidakpastian Heisenberg menyatakan bahwa (hampir) tidak 

mungkin untuk mengukur dua besaran secara bersamaan, misalnya posisi dan momentum suatu partikel. 

Komutator merupakan operasi perkalian antara dua operator sering dilakukan (seperti halnya perkalian antara dua observabel).



Fungsi hasil operasi suatu operator bisa merupakan kelipatan konstan dari fungsi asalnya, yakni :

DAFTAR PUSTAKA

Gasiorowiez, S, 1974, Quantum Physics  john wiley & Sons, New York, USA. http://eprints.undip.ac.id/32175/7/F96_Asep_Yoyo_Wardaya_chapter_II.pdf  http://staff.uny.ac.id/sites/default/files/pengabdian/r-yosi-aprian-sari-msi/mgmpfisika-bantul.pdf 

View more...

Comments

Copyright ©2017 KUPDF Inc.
SUPPORT KUPDF